Question

19．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，a、b∈R⁺，A=f（$\frac{a+b}{2}$），B=f（$\sqrt{ab}$），C=f（$\frac{ab}{a+b}$），則A、B、C的大小關(guān)系是（　�。�

• A． A≤B≤C
• B． A≤C≤B
• C． B≤C≤A
• D． C≤B≤A

Answer 1

分析 由不等式可證$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：∵a、b∈R⁺，∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，$\frac{ab}{a+b}$≤$\frac{ab}{2\sqrt{ab}}$=$\frac{\sqrt{ab}}{2}$≤$\sqrt{ab}$，
又f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（$\frac{a+b}{2}$）≤f（$\sqrt{ab}$）≤f（$\frac{ab}{a+b}$），即A≤B≤C
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式證明式子大小，涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．