Question

20．求圓心在直線x+y=0上，且過直線x-2y+4=0與圓x²+y²+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

分析 先求得直線x-2y+4=0與圓x²+y²+2x+2y-8=0的交點(diǎn)，設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，-a），則（a，-a）到兩圓交點(diǎn)（-4，0）和（0，2）的距離相等，求得a的值，可得圓心和半徑，從而求得要求的圓的方程．

解答 解：將直線與圓的方程聯(lián)立得方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{{x^2}+{y^2}+2x+4y-8=0}\end{array}}\right.$，消去x得到y(tǒng)²-2y=0，解得：y=0或y=2，
兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（0，2）．
因所求圓心在直線x+y=0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為（a，-a），則（a，-a）到兩圓交點(diǎn)（-4，0）和（0，2）的距離相等，
故有：$\sqrt{{（a+4）}^{2}{+（-a）}^{2}}$=$\sqrt{{（a-0）}^{2}{+（-a-2）}^{2}}$，
即4a=-12，∴a=-3，從而圓心坐標(biāo)是（-3，3），
又$r=\sqrt{{{（-4+3）}^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$，故所求圓的方程為（x+3）²+（y-3）²=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求兩曲線的交點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．