Question

設(shè)a₁＞a₂＞…＞a_n＞a_n+1,求證：

＞0.

Answer 1

思路分析：這道題初看起來似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)就可以使用了，我們不妨改為證：

(a₁-a_n+1)·［］＞1.

證明：為了運用柯西不等式，我們將a₁-a_n+1寫成

a₁-a_n+1=(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+ …+(a_n-a_n+1),于是

［(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+…+(a_n-a_n+1)］·（）≥n²＞1.

即(a₁-a_n+1)·（）＞1,

∴,

故＞0.

方法歸納

    我們進一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點是：不等式左邊是兩個因式之和，其中每一個因式都是項平方和，右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明.