Question

1．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₁的極坐標方程為${ρ^2}-2\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）-2=0$，曲線C₂的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，C₁與C₂相交于A，B兩點．
（1）把C₁和C₂的方程化為直角坐標方程，并求點A，B的直角坐標；
（2）若P為C₁上的動點，求|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意把曲線C₁的極坐標方程${ρ^2}-2\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）-2=0$，轉化為：${C_1}：{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4$，
把曲線C₂的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，轉化為：C₂：x-y=0，最后建立方程組$\left\{\begin{array}{l}{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得交點的坐標．
（2）由（1）把圓的方程轉化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設P（-1+2cosθ，1+2sinθ），不妨設A（-1，-1），B（1，1），根據(jù)兩點間的距離公式得到：
|PA|²+|PB|²=16+8sinθ-8cosθ，=$16+8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
最后求得|PA|²+|PB|²的取值范圍為$[{16-8\sqrt{2}，16+8\sqrt{2}}]$．

解答 解：：（1）根據(jù)題意把曲線C₁的極坐標方程${ρ^2}-2\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）-2=0$，
轉化為：${C_1}：{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4$，
曲線C₂的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，
轉化為：C₂：x-y=0，
建立方程組$\left\{\begin{array}{l}{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即：A（-1，-1），B（1，1）或A（1，1），B（-1，-1）．
（2）由（1）把圓的方程轉化為參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
設P（-1+2cosθ，1+2sinθ），不妨設A（-1，-1），B（1，1），
根據(jù)兩點間的距離公式得到：
|PA|²+|PB|²
=16+8sinθ-8cosθ，
=$16+8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
所所以|PA|²+|PB|²的取值范圍為$[{16-8\sqrt{2}，16+8\sqrt{2}}]$．

點評 本題考查的知識點：極坐標方程與普通方程的互化，圓的一般式和標準式的互化，二元二次方程組的解法，三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的最值的求法，屬于基礎題型．