Question

能否選擇1983個不同的正整數(shù)都不大于10⁵，且其中沒有三個正整數(shù)是算術(shù)級數(shù)中的連續(xù)項，并證明你的論斷．

Answer 1

證明：考慮三進制表示中，不含數(shù)字2并且位數(shù)≤11的數(shù)所成的集合M．

顯然|M|＝2¹¹－1＞1983．M中最大的數(shù)為

若x、y、z∈M并且x＋z＝2y，則由于2y的各位數(shù)字為0或2，所以x＋z的各位數(shù)字也為0或2．從而x、z在同一位上的數(shù)字同為0或同為2，即x＝z．因此M中任三個互不相同的數(shù)不成等差數(shù)列．

于是回答是肯定的，M即是一例．