Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且橢圓上的點到兩個焦點的距離和為2

2

．斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點且與橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點M（0，m）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）試用m表示△MPQ的面積，并求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓上的點到兩個焦點的距離和為2

2

，即2a=2

2

，∴a=

2

橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，即e=

2

2

∵e=

c

a

，∴

c

a

=

2

2

，
∴c=1
又∵a²=b²+c²，∴b=1．
又斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點，即橢圓的焦點在Y軸上
∴橢圓方程為

y2

2

+x2=1．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 y2 2 +x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則△=8k²+8＞0
x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．
y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．
設線段PQ中點為N，則點N的坐標為(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)，
∵M（0，m），∴直線MN的斜率k_MN=

m- 2 k2+2

k k2+2

∵直線MN為PQ的垂直平分線，∴k_MN•k=-1，
可得

m- 2 k2+2

k k2+2

•k=-1．即m=

1

k2+2

，
又k≠0，∴k²+2＞2，
∴0＜

1

k2+2

＜

1

2

，即0＜m＜

1

2

．
（Ⅲ）設橢圓上焦點為F，
∵y軸把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴S△MPQ=S△PMF +S△QMF =

1

2

|FM||x₁|+

1

2

|FM||x₂|=

1

2

|FM|（|x₁|+|x₂|）
∵P，Q在y軸兩側，∴|x₁|+|x₂|=||（x₁-x₂）
∴S△MPQ=

1

2

•|FM|•|x1-x2|，
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(k2+1) (k2+2)2

，
由m=

1

k2+2

，可得k2+2=

1

m

．
∴|x1-x2|=

8( 1 m -1) 1 m2

=

8m(1-m)

．
又∵|FM|=1-m，∴S△MPQ=

1

2

(1-m)

8m(1-m)

= 

2m(1-m)3

．
∴△MPQ的面積為

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
設f（m）=m（1-m）³，則f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在區(qū)間(0，

1

4

]單調遞增，在區(qū)間(

1

4

，

1

2

)單調遞減．
∴f（m）=m（1-m）³有最大值f(

1

4

)=

27

256

．此時∴△MPQ的面積為

2

×

27 256

=

3 6

16

∴△MPQ的面積有最大值

3 6

16

．