Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E是PB的中點，F是AD的中點.

   （Ⅰ）求異面直線PD一AE所成角的大��；

   （Ⅱ）求證：EF平面PBC；

   （Ⅲ）求二面角F―PC―B的大小.

Answer 1

解法一：

   （Ⅰ）連結BD

    ∵PD⊥平面ABCD，

∴平面PDB⊥平面ABCD，

過點E作EO⊥BD于O，連結AO.

則EO∥PD，且EO⊥平面ABCD.

∴∠AEO為異面直線PD，AE所成的角

∵E是PB的中點，

則O是BD的中點，

且EO=PD=1.

在Rt△EOA中，AO=，

.

即異面直線PD與AE所成角的大小為

   （Ⅱ）連結FO，

    ∵F是AD的中點，

∴OF⊥AD.

∵EO⊥平面ABCD，

由三垂線定理，得EF⊥AD.

又∵AD∥BC，

∴EF⊥BC

連結FB.

可求得FB = PF =

則EF⊥PB.

又∵PB∩BC = B，

∴EF⊥平面PBC.

   （Ⅲ）取PC的中點G，連結EG，FG.

則EG是FG在平面PBC內的射影

∵PD⊥平面ABCD，  ∴PD⊥BC

又DC⊥BC，且PD∩DC = D，

∴BC⊥平面PDC，

∴BC⊥PC，

∵EG∥BC，

則EG⊥PC

∴FG⊥PC

∴∠FGE是二面角F―PC―B的平面角

在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ，

 

∴二面角F―PC―B的大小為

解法二：

   （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），

D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）

故異面直線AE與DP所成角的大小為

   （Ⅱ）

∴EF⊥平面PBC

   （Ⅲ）設平面PFC的法向量為

則    令

由（Ⅱ）知平面PBC的法向量為

則二面角F―PC―B的大小為為