Question

3．在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB⊥平面ABCD所成的角為60°．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值；
（3）求二面角C-PB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO=60°．由此我們可以計算出PO即棱錐的高，及底面菱形的面積，代入即可得到棱錐的體積．
（2）取AB的中點F，連接EF、DF．由E是PB的中點，得EF∥PA，則∠FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補角），然后解三角形FED求出夾角．
（3）作AM⊥PB，垂足為M，連接CM，則CM⊥PB，∠AMC為二面角C-PB-D的平面角，利用余弦定理可得結(jié)論．

解答 解：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO=60°．
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO，
于是，PO=BOtan60°=$\sqrt{3}$，而底面菱形的面積為2$\sqrt{3}$．
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=2．
（2）取AB的中點F，連接EF、DF．
由E是PB的中點，得EF∥PA，
∴∠FED是異面直線DE與PA所成角（或它的補角），
在Rt△AOB中AO=ABcos30°=$\sqrt{3}$=OP，
于是，在等腰Rt△POA中，PA=$\sqrt{6}$，則EF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=$\sqrt{3}$，
cos∠FED=$\frac{\frac{1}{2}EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）作AM⊥PB，垂足為M，連接CM，則CM⊥PB，∴∠AMC為二面角C-PB-D的平面角．

△PAB中，PA=$\sqrt{6}$，PB=2，AB=2，∴由等面積可得$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{6}{4}}$=$\frac{1}{2}×2×AM$，
∴AM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴cos∠AMC=$\frac{\frac{15}{4}+\frac{15}{4}-12}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}}$=-$\frac{3}{5}$
∴二面角C-PB-D的正切值為-$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查四棱錐P-ABCD的體積，異面直線DE與PA所成角的余弦值，二面角C-PB-D的正切值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．