Question

已知α、β≠kπ+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin²β,

求證:.

Answer 1

思路解析:比較已知條件和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角θ,所以首先要消去它.然后由式子的結(jié)構(gòu)特點,將切化弦統(tǒng)一函數(shù)名后分析比較不難得到結(jié)論.

證明:因為(sinθ+cosθ)²-2sinθ·cosθ=1,

將已知代入上式得4sin²α-2sin²β=1.                                               ①

另一方面,要證,

即證,

即證cos²α-sin²α=(cos²β-sin²β),

即證1-2sin²α=(1-2sin²β),

即證4sin²α-2sin²β=1.

由于上式與①式相同,于是問題得證.

深化升華  在解決問題時,我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P.若由P可以推出Q成立,就可以證明結(jié)論成立.