Question

已知函數f（x）=ax-21nx，a∈R
（Ⅰ）a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）求f（x）單調區(qū)間
（Ⅲ）設，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）．令f'（x）=0，得x=2
當x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=2時，f（x）取得極小值f（2）=2-2ln2．
（Ⅱ）a≤0時，f（x）在（0，+∞）上為減函數；a＞0時，f（x）在（0，）上是減函數，
在（）上是增函數．
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=，
F'（x）=，
所以F（x）為增函數，F（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，解得．所以a的取值范圍是．
分析：（I）由題意對函數求導，然后解f′（x）=0方程，得到x=2，將（0，+∞）分為二個區(qū)間，最后通過列表得出導數在這二個區(qū)間的符號，討論出函數的單調性，即可得出函數的極值．
（II）先求導數fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，從而的函數f（x）的單調區(qū)間以及函數的極值，fˊ（x）＞0的區(qū)間是增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間是減區(qū)間．
（III）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=，求導：
F'（x）=，得出F（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，從而求得a的取值范圍．
點評：本題主要考查了函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．