Question

9．已知F點為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，以點F為圓心的圓于C的漸近線相切，且與C交于A，B兩點，若AF⊥x軸，則C的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運用點到直線的距離公式可得焦點到漸近線的距離為b，即為圓F的半徑，再由AF垂直于x軸，可得a=b，運用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得F到漸近線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即圓F的半徑為b，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵A在圓F上，∴$\frac{^{2}}{a}$=b，
即a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用點到直線的距離公式，以及直線和圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．