Question

函數(shù)f（x）=

x+cosx，(x≤0) 1 3 x3-4x+1，(x＞0)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、無數(shù)個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的解析式，分類討論，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+cosx，求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)f（0）=1＞0，x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，從而求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

3

x3-4x+1，求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，根據(jù)f（2）=

8

3

- 7＜0，f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，從而求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x+cosx，
f′（x）=1-sinx≥0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（0）=1＞0，x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，
∴f（x）在（-∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

3

x3-4x+1，
f′（x）=x²-4=0，
解得x=2或x=-2（舍），
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
且f（2）=

8

3

- 7＜0，f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)；
綜上函數(shù)f（x）=

x+cosx，(x≤0) 1 3 x3-4x+1，(x＞0)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，
故選B．

點(diǎn)評：此題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題實(shí)際上就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等基礎(chǔ)題，同時(shí)考查了知識的靈活運(yùn)用和運(yùn)算能力．