Question

15．在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a，b，c，a=$\sqrt{5}$，2sinA+$\sqrt{15}$sinB=2$\sqrt{5}$sinC，且△ABC的面積S_△ABC=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，則b=4．

Answer 1

分析 由三角形的面積公式和向量數(shù)量積的定義，結(jié)合同角的平方關(guān)系，可得cosB，再由余弦定理和正弦定理，解方程即可得到b的值．

解答 解：△ABC的面積S_△ABC=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
即為$\frac{1}{2}$acsinB=cacosB，即sinB=2cosB，
又sin²B+cos²B=1，
解得cosB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ca}$，
即為$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{{c}^{2}+5-^{2}}{2\sqrt{5}c}$，①
由正弦定理可得，
2sinA+$\sqrt{15}$sinB=2$\sqrt{5}$sinC，即為2a+$\sqrt{15}$b=2$\sqrt{5}$c，
即為2+$\sqrt{3}$b=2c，②
由①②解得b=4．
故答案為：4．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和解三角形的正弦定理、余弦定理及面積公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．