Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象過原點的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)x＞0，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)a＜b，證明

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）先求出其反函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可；
（II）由f（x）=mx²，令h（x）=

ex

x2

（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出；
（III）利用作差法

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)切線方程為y=kx，切點為（x₀，y₀），則

kx0=ex0 k=ex0

∴x₀=1，k=e，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象過原點的切線方程為y=ex；
（Ⅱ）解：當(dāng)x＞0，m＞0時，令f（x）=mx²，化為m=

ex

x2

，
令h（x）=

ex

x2

（x＞0），則h′（x）=

ex(x-2)

x3

，
則x∈（0，2）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=2時，h（x）取得極小值即最小值，h（2）=

e2

4

．
∴當(dāng)m∈（0，

e2

4

）時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數(shù)為0；
當(dāng)m=

e2

4

時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx²（m＞0）公共點的個數(shù)為1；
當(dāng)m＞

e2

4

時，曲線y=f （x） 與曲線y=mx²（m＞0）公共點個數(shù)為2．
（Ⅲ）證明：

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g(shù)（x）＞g（0）=0．
∵當(dāng)x＞0時，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，
即當(dāng)a＜b時，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程得根的個數(shù)、比較兩個實數(shù)的大小等基礎(chǔ)知識，考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計算能力．