Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．

Answer 1

【探究】 在空間立體幾何中證明某一四邊形是平行四邊形,首先一定要保證證明過程中證明了這個四邊形是一個平面四邊形,容易證明FGDB,HEDB,從而HE∥FG,這保證了四點在同一平面內,于是我們可以應用平面幾何的有關知識證明其為一平行四邊形,之后可采取證明四邊形一組對邊平行且相等或證明四邊形兩組對邊分別相等的方法來證明結論.

證明：∵H、E分別為AD、AB邊的中點，

∴HEDB.

∵F、G分別為BC、CD邊的中點，故FGDB．

∴HEFG．

故四邊形EFGH為平行四邊形．

【規(guī)律總結】 1.在學習立體幾何命題時，要防止相關的平面幾何命題引起的負面干擾．因為部分在平面幾何中成立的命題，在立體幾何中未必成立，因而不能盲目地將平面幾何中的結論類比推廣到立體幾何中．對一些命題，在立體幾何中被判斷為真命題的，應能進行嚴格的證明；被判斷為假命題的，只要能通過實驗等途徑舉出反例即可．

2.本題在證明過程中容易用到在平面幾何中成立而在立體幾何中不成立的結論：若一個四邊形的兩組對邊分別相等，則該四邊形為平行四邊形．反例如下：設菱形ABCD，連對角線AC，將△ABC所在平面與△ACD所在平面沿AC邊折起，使其不在同一個平面內(得到二面角)，則該四邊形顯然滿足四邊相等，但卻不是平面四邊形，更不是平行四邊形．