Question

7．求（1+2x）¹⁰的展開式中
（1）求二項式系數(shù)最大的項；
（2）求系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）由已知二項式可知展開式由11項，則中間一項的二項式系數(shù)最大，由此求得二項式系數(shù)最大的項；
（2）寫出二項展開式的通項，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得r的范圍得答案．

解答 解：（1）（1+2x）¹⁰的展開式中共有11項，
中間一項的二項式系數(shù)最大，T₆=${C}_{10}^{5}$2⁵x⁵；
（2）（1+2x）¹⁰的展開式的通項公式為${T}_{r+1}={C}_{10}^{r}{2}^{r}{x}^{r}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{4}$，故r=7．
即系數(shù)最大的項為第8項，為${T}_{8}={C}_{10}^{8}{2}^{7}{x}^{7}$．

點(diǎn)評 本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，熟記二項展開式的通項，同時注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別，是中檔題．