Question

若函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數(shù)f（x）有極值，且函數(shù)f（x）圖象上以點A（3，f（3））為切點的切線與直線5x-y+1=0平行．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程f（x）=k有3個解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，切線的斜率，由f′（2）=0，且f′（3）=5，列出方程，求出a，b即可；
（2）由（1）得，f'（x）=x²-4，令f'（x）=0，得x=2，或x=-2，列表求出單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）由（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，及直線y=k，由圖象觀察即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³-bx+4，∴f′（x）=3ax²-b，
直線5x-y+1=0的斜率為5，
則由題意得，f′（2）=0，且f′（3）=5，即有12a-b=0且27a-b=5，
解得a=

1

3

，b=4，
∴f(x)=

1

3

x3-4x+4．
（2）由（1）得，f'（x）=x²-4，令f'（x）=0，得x=2，或x=-2．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，+2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-2，2）．
（3）由（2）得f（x）的極大值為f（-2）=

28

3

，極小值為f（2）=-

4

3

．
函數(shù)f(x)=

1

3

x3-4x+4的圖象大致如右：
若方程f（x）=k有3個解，需使直線y=k與函數(shù)
f(x)=

1

3

x3-4x+4的圖象有3個交點，
由圖象可知：-

4

3

＜k＜

28

3

．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值，考查數(shù)形結(jié)合的能力，以及運算能力，屬于基礎(chǔ)題．