Question

已知不同的三點A、B、C滿足

AB

=λ

BC

（λ∈R，λ≠0），使得關(guān)于x的方程x²

OA

+x

OB

-

OC

=

0

有解（點O不在直線AB上），則此方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解集為（　　）

• A、∅
• B、{-1，0}
• C、{-1}
• D、{

  -1+ 5

  2

  ，

  -1- 5

  2

  }

Answer 1

考點：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：將

AB

=λ

BC

中的

AB

，

BC

用向量

OA

，

OB

，

OC

表示，于是

OC

可用

OA

，

OB

表示，而方程x²

OA

+x

OB

-

OC

=

0

可改寫成

OC

=x²

OA

+x

OB

，根據(jù)平面向量基本定理，存在唯一的實數(shù)對λ₁，λ₂，使得

OC

=λ1

OA

+λ2

OB

，從而得到關(guān)于x的一元二次方程，探究此方程即可得解集．

解答： 解：由

AB

=λ

BC

，得

OB

-

OA

=λ(

OC

-

OB

)，
因為λ≠0，所以

OC

=-

1

λ

OA

+

1+λ

λ

OB

，
又由x²

OA

+x

OB

-

OC

=

0

，得

OC

=x²

OA

+x

OB

，
根據(jù)平面向量基本定理，有

- 1 λ =x2 1+λ λ =x

，
消去λ，得x²+x-1=0，從而x=

-1± 5

2

．
故選D．

點評：1．本題考查了共線向量定理、平面向量基本定理，關(guān)鍵是利用向量運算法則，對共線向量的充要條件進行靈活變形，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為實數(shù)的關(guān)系．
2．記住一些常用的結(jié)論，可加快解題的速度，如A、B、C三點共線，O為直線ABC外一點，則存在不為零的實數(shù)λ₁，λ₂，λ₃，使得λ₁

OA

+λ₂

OB

+λ₃

OC

=

0

，且λ₁+λ₂+λ₃=0，根據(jù)這一規(guī)律，本題還可以快速求解：由

AB

=λ

BC

知，A、B、C三點共線，x²+x-1=0，解方程即得解集．