Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2， PD=，∠PAB=60°。  

（1）證明：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角P-BD-A的大小。

Answer 1

（1）證明：在△PAD中， 由題設(shè)，PA=2，AD=2，PD=， 可得PA2+AD2=PD2， 于是AD⊥PA， 在矩形ABCD中，AD⊥AB， 又PA∩AB=A， ∴AD⊥平面PAB。
（2）解：過點P作PH⊥AB于H，過H作HE⊥BD于E， 連結(jié)PE， ∵AD⊥平面PAB，PH平面PAB， ∴AD⊥PH， 又AD∩AB=A， ∴PH⊥平面ABCD， 故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影， 由三垂線定理，可知BD⊥PE， 從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角， 由題設(shè)，可得 PH=PA·sin60°=，AH=PA·cos60°=1， BH=AB-AH=2，BD=， HE=， 于是在Rt△PHE中，tan∠PEH=， 所以二面角P-BD-A的大小為arctan。