Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3（2-a）x，a∈R
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若y=f（x）的圖象與x軸相切于原點，且當(dāng)x₂＜x₁＜4時，f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞0．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)f′（x）=3x²-6ax+3（2-a），再確定△=36（a²+a-2）=36（a+2）（a-1）；從而以△討論單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令f′（0）=3×0²-6a•0+3（2-a）=0可求得a=2；從而化簡f（x）=x³-6x²，從而可知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（4，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，4）；再由f（x₁）=f（x₂），且x₂＜x₁＜4知x₂＜0，x₁＞0，從而可得f（x₂）＞f（-x₁），再由單調(diào)性可得x₂＞-x₁，從而證明．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax+3（2-a），
△=36（a²+a-2）=36（a+2）（a-1）；
①當(dāng)a＜-2或a＞1時，
由f′（x）=3x²-6ax+3（2-a）=0解得，
x=a±$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$；
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$），（a+$\sqrt{{a}^{2}+a-2}$，+∞）；
②當(dāng)-2≤a≤1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）證明：令f′（0）=3×0²-6a•0+3（2-a）=0得a=2；
故f（x）=x³-6x²，
由（1）知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（4，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（0，4）；
∵f（x₁）=f（x₂），且x₂＜x₁＜4，
∴x₂＜0，x₁＞0，
則-x₁＜0，而f（x₁）-f（-x₁）=2x₁³＞0，
則f（x₁）＞f（-x₁），
則f（x₂）＞f（-x₁），
又f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），
故x₂＞-x₁，
故x₁+x₂＞0．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，二次方程的根及單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．