Question

5．下列說法：
①扇形的周長為8cm，面積為4cm²，則扇形的圓心角弧度數(shù)為1rad；
②函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值為$\sqrt{2}$；
③若α是第三象限角，則$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值為0或-2；
④若sinα=sinβ則α與β的終邊相同；
⑤函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x為有理數(shù)\\ 1，x為無理數(shù)\end{array}\right.$為周期函數(shù)；
其中正確的是⑤（寫出所有正確答案）．

Answer 1

分析 設出扇形所在圓的半徑為r，圓心角為α，由題意列式求出α判斷①；直接求出函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值判斷②；利用三角函數(shù)的化簡求值求得$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值判斷③；由sinα=sinβ得到α與β的關系判斷④；利用周期函數(shù)的概念判斷⑤．

解答 解：①設扇形所在圓的半徑為r，圓心角為α，則由題意知：$αγ+2γ=8，\frac{1}{2}α{γ}^{2}=4$，解得r=2，α=2，故①錯誤；
②函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$，其最大值為$\sqrt{2}$+1，故②錯誤；
③若α是第三象限角，則$π+2kπ＜α＜\frac{3π}{2}+2kπ$，∴$\frac{π}{2}+kπ＜\frac{α}{2}＜\frac{3π}{4}+kπ，k∈Z$．
則$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$=0，故③錯誤；
④若sinα=sinβ，則α與β的終邊相同或關于y軸對稱，故④錯誤；
⑤任何一個非零有理數(shù)都是函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x為有理數(shù)\\ 1，x為無理數(shù)\end{array}\right.$的周期，故⑤正確．
故答案為：⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了扇形的弧長和面積公式，考查三角函數(shù)最值的求法，訓練了周期函數(shù)的判定方法，是中檔題．