Question

10．某校高三月考過后，化學(xué)組老師從高三年級1000名學(xué)生中抽出了20人的化學(xué)成績（滿分：100分），作為樣本進行分析，將成績按如下方式分成五組：第一組[50，60），第二組：[60，70），…，第五組[90，100）．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此求這20位學(xué)生化學(xué)成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)；
（2）估計該校高三年級這次月考中化學(xué)成績超過80分的人數(shù)；
（3）樣本中，從化學(xué)成績在80分以上（包括80分）的學(xué)生中人選2人，求至少有1人成績在90-100分數(shù)段的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，能求出這20位學(xué)生化學(xué)成績的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)．
（2）由頻率分布直方圖求出化學(xué)成績超過80分的頻率，由此能估計該校高三年級這次月考中化學(xué)成績超過80分的人數(shù)．
（3）由頻率分布直方圖求出樣本中，從化學(xué)成績在80分以上（包括80分）的學(xué)生有20×0.4=8，其中化學(xué)成績在[80，90）的有6人，化學(xué)成績在[90，100]的有2人，由此能求出至少有1人成績在90-100分數(shù)段的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
這20位學(xué)生化學(xué)成績的平均數(shù)為：
$\overline{x}$=55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76．
∵化學(xué)成績在[50，70）內(nèi)的頻率為：（0.01+0.02）×10=0.3，
化學(xué)成績在[70，80）內(nèi)的頻率為：0.03×10=0.3，
∴這20位學(xué)生化學(xué)成績的中位數(shù)為：
70+$\frac{0.5-0.3}{0.3}×10$=$\frac{230}{3}$．
∵化學(xué)成績在[70，90）內(nèi)的小矩形最高，
∴這20位學(xué)生化學(xué)成績的眾數(shù)為：$\frac{70+90}{2}$=80．
（2）由頻率分布直方圖得化學(xué)成績超過80分的頻率為：（0.03+0.01）×10=0.4，
∴估計該校高三年級這次月考中化學(xué)成績超過80分的人數(shù)為：1000×0.4=400．
（3）由頻率分布直方圖得化學(xué)成績超過80分的頻率為：（0.03+0.01）×10=0.4，
∴樣本中，從化學(xué)成績在80分以上（包括80分）的學(xué)生有20×0.4=8，
其中化學(xué)成績在[80，90）的有：0.03×10×20=6人，
化學(xué)成績在[90，100]的有：0.01×10×20=2人
從化學(xué)成績在80分以上（包括80分）的學(xué)生中人選2人，
基本事件總數(shù)n=${C}_{8}^{2}$=28，
至少有1人成績在90-100分數(shù)段的對立事件是2人成績都在[80，90）內(nèi)，
∴至少有1人成績在90-100分數(shù)段的概率：
p=1-$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{13}{28}$．

點評 本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、頻數(shù)、概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意頻率分直方圖、等可能事件概率計算公式的合理運用．