Question

13．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，為了探究車流輛與PM2.5的濃度是否相關，現采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5的濃度的數據如下表：

時間	周一	周二	周三	周四	周五
車流量x（萬輛）	100	102	108	114	116
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	78	80	84	88	90

（Ⅰ）根據上表數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）若周六同一時間段車流量是200萬輛，試根據（Ⅰ）中求出的線性回歸方程預測，此時PM2.5的濃度是多少？
附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中系數計算公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（\;{x_i}-\overline x\;）（\;{y_i}-\overline y\;）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（\;{x_i}-\overline x\;）}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\;\overline x$，其中$\overline x$、$\overline y$表示樣本均值．

Answer 1

分析 （I）根據回歸系數公式計算回歸系數得出回歸方程；
（II）把x=200代入回歸方程解出y．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{x_i}=108$，$\overline y=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{y_i}=84$，$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}=144$，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=200$．
∴$\hat b=\frac{144}{200}=0.72$，$\hat a=\overline y-\hat b\;\overline x=84-0.72×108=6.24$．
∴y關于x的線性回歸方程是y=0.72x+6.24．
（Ⅱ）當x=200時，y=0.72×200+6.24=150.24．
可以預測此時PM2.5的濃度是150.24微克/立方米．

點評 本題考查了線性回歸方程的求解及應用，屬于基礎題．