Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x，
（1）試討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=e^x+e^-x，f（-x）=e^x+e^-x=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)；
當(dāng)a=-1時，f（x）=e^x-e^-x，f（-x）=e^-x-e^-x=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)；
當(dāng)a≠1且a≠-1，函數(shù)f（x）=e^x+ae^-x是非奇非偶函數(shù)．
（2）用定義法說明：
對任意的x₁，x₂＞1，且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)(1-

a

ex2ex1

)＞0
∴a＜ex2ex1，對任意的x₁，x₂＞1恒成立，
∴a≤e²．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義．