Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3，x∈[-2，2]．
（1）若a=2時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）當a為實數(shù)時，求函數(shù)f（x）的最小值g（a）
（3）若g（a）≥a時，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入函數(shù)的解析式，得到函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的最大值和最小值；
（2）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質，寫出對于對稱軸所在的區(qū)間不同時，對應的函數(shù)的最小值，是一個分段函數(shù)形式；
（3）由（2）得到各個范圍的g（a），解不等式求出a的范圍，從而求出a的最小值．

解答 解：（1）f（x）=（x+1）²+2，對稱軸x=-1，
f（x）在[-2，-1）遞減，在（-1，2]遞增，
所以f（x）_{min（x=-1）}=2，f（x）_max（x=2）=11；
（2）函數(shù)f（x）的對稱軸為直線x=-$\frac{a}{2}$，
①當-4≤a≤4時，-2≤-$\frac{a}{2}$≤2，g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{12{-a}^{2}}{4}$；
②當a＜-4時，-$\frac{a}{2}$＞2，g（a）=f（2）=7+2a；
③當a＞4時，-$\frac{a}{2}$＜-2，g（a）=f（-2）=7-2a．
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{7+2a，（a＜-4）}\\{\frac{12{-a}^{2}}{4}，（-4≤a≤4）}\\{7-2a，（a＞4）}\end{array}\right.$；
（3）a＜-4時：7+2a≥a，解得：a≥-7，
∴-7≤a＜-4，
-4≤a≤4時：$\frac{12{-a}^{2}}{4}$≥a，解得：-6≤a≤2，
∴-4≤a≤2，
a＞4時：7-2a＞a，解得：a＜$\frac{7}{3}$無解，
綜上：-7≤a≤2，
∴a的最小值是-7．

點評 本題看出二次函數(shù)的性質，針對于函數(shù)的對稱軸是一個變化的值，需要對對稱軸所在的區(qū)間進行討論，是一個易錯題．