Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值的充要條件；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

（x＞0），由題意可得f（x）既有極大值又有極小值?方程2x²-ax+1=0有兩個不等的正實數(shù)根x₁，x₂；于是由

a 2 ＞0 △=a2-4×(-2)•(-1)＞0

即可求得a的取值范圍；
（2）f′（x）=-2x+a-

1

x

，令g（x）=2x+

1

x

，結(jié)合題意可得g（x）在[

1

2

，

2

2

）上遞減，g（x）在（

2

2

，2]上遞增；從而可求得當(dāng)x∈[

1

2

，2]時，g（x）_max=

9

2

，g（x）_min=2

2

．于是得，若f（x）在[

1

2

，2]單調(diào)遞增，f′（x）≥0即a≥g（x），從而求得a的取值范圍；同理可求，若f（x）在[

1

2

，2]單調(diào)遞減時a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

（x＞0），
∴f（x）既有極大值又有極小值?方程2x²-ax+1=0有兩個不等的正實數(shù)根x₁，x₂．（3分）
∴

a 2 ＞0 △=a2-4×(-2)•(-1)＞0

，
∴a＞2

2

，
∴函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值的充要條件是a＞2

2

．（6分）
（2）f′（x）=-2x+a-

1

x

，令g（x）=2x+

1

x

（x＞0），
則g′（x）=2-

1

x2

，由g′（x）＜0結(jié)合題意得：g（x）在[

1

2

，

2

2

）上遞減，
由g′（x）＞0結(jié)合題意得：g（x）在（

2

2

，2]上遞增．（8分）
又g（

1

2

）=3，g（2）=

9

2

，g（

2

2

）=2

2

，
∴g（x）_max=

9

2

，g（x）_min=2

2

．（10分）
若f（x）在[

1

2

，2]單調(diào)遞增，則f′（x）≥0即a≥g（x），
∴a≥

9

2

．
若f（x）在[

1

2

，2]單調(diào)遞減，則f′（x）≤0，即a≤g（x），
∴a≤2

2

．
所以f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)時，則a≤2

2

或a≥

9

2

．（13分）

點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，突出考查構(gòu)造函數(shù)的思想，轉(zhuǎn)化與分類討論的思想，考查恒成立問題，綜合性強，難度大，屬于難題．