Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的圖象在它與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為l₁，g（x-1）的圖象在它與x軸的交點(diǎn)N處的切線為l₂，且l₁與l₂平行．
（1）求a的值；
（2）已知t∈R，求函數(shù)y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；
（3）令F（x）=g（x）+g′（x），給定x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)α，β，存在實(shí)數(shù)m滿足：α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，并且使得不等式|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值；
（2）令u=xlnx，再研究二次函數(shù)u²+（2t-1）u+t²-t圖象是對(duì)稱軸u=$\frac{1-2t}{2}$，開口向上的拋物線，結(jié)合其性質(zhì)求出最值；
（3）先由題意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，再利用導(dǎo)數(shù)工具研究所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，得到當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，下面對(duì)m進(jìn)行分類討論：①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，②當(dāng)m≤0時(shí)，③當(dāng)m≥1時(shí)，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）y=f（x）圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M（a，0），f′（x）=2x-a，
y=g（x-1）=ln（x-1）圖象與x軸的交點(diǎn)N（2，0），
g′（x-1）=$\frac{1}{x-1}$由題意可得k l₁=k l₂，即a=1；
（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
令u=xlnx，在 x∈[1，e]時(shí)，u′=lnx+1＞0，
∴u=xlnx在[1，e]單調(diào)遞增，0≤u≤e，
u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對(duì)稱軸u=$\frac{1-2t}{2}$，拋物線開口向上，
①當(dāng)u=$\frac{1-2t}{2}$≤0，即t≥$\frac{1}{2}$時(shí)，y最小=t²-t，
②當(dāng)u=$\frac{1-2t}{2}$≥e，即t≤$\frac{1-2e}{2}$時(shí)，y最小=e²+（2t-1）e+t²-t，
③當(dāng)0＜$\frac{1-2t}{2}$＜e，即 $\frac{1-2e}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
y最小=y|u=$\frac{1-2t}{2}$=-$\frac{1}{4}$；
（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
F′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$≥0，
所以F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（1）＞0，
①當(dāng)m∈（0，1）時(shí)，有，
α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α=mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得α∈（x₁，x₂），同理β∈（x₁，x₂），
∴由f（x）的單調(diào)性知  0＜F（x₁）＜F（α）、f（β）＜f（x₂），
從而有|F（α）-F（β）|＜|F（x₁）-F（x₂）|，符合題設(shè)．
②當(dāng)m≤0時(shí)，
α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，
β=mx₂+（1-m）x₁≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
由f（x）的單調(diào)性知，
F（β）≤F（x₁）＜f（x₂）≤F（α），
∴|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設(shè)不符，
③當(dāng)m≥1時(shí)，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
得|F（α）-F（β）|≥|F（x₁）-F（x₂）|，與題設(shè)不符，
∴綜合①、②、③得 m∈（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．