Question

已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0.

（1）若直線l過P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；

（2）求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

（1）3x-4y+20=0或x=0（2）x²+y²+2x-11y+30=0.        

解析:

（1）方法一  如圖所示，AB=4，D是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，AD=2，圓x²+y²+4x-12y+24=0可化為（x+2）²+（y-6）²=16，圓心C（-2，6），半徑r=4，故AC=4，

在Rt△ACD中，可得CD=2.                                                                                     2分

設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,

即kx-y+5=0.

由點(diǎn)C到直線AB的距離公式： =2，得k=.

此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0.                                                                            4分

又直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)方程為x=0.                                                               6分

則y²-12y+24=0,∴y₁=6+2,y₂=6-2,

∴y₂-y₁=4,故x=0滿足題意.

∴所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.                                                                               8分

方法二 設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為

y-5=kx,即y=kx+5,

聯(lián)立直線與圓的方程

消去y得（1+k²）x²+(4-2k)x-11=0                                                                                    ①     2分

設(shè)方程①的兩根為x₁,x₂,

由根與系數(shù)的關(guān)系得                                                                      ②  4分

由弦長公式得|x₁-x₂|=

將②式代入，解得k=，

此時(shí)直線的方程為3x-4y+20=0.                                                                                        6分

又k不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)直線方程為x=0.

∴所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0.                                                                               8分

（2）設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D（x,y）,

則CD⊥PD，即·=0，                                                                                           10分

（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化簡得所求軌跡方程為

x²+y²+2x-11y+30=0.                                                                                                                         12分