Question

已知橢圓9x²+16y²=144，焦點(diǎn)為F₁、F₂，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F₁PF₂=60°，則=________．

Answer 1

分析：將橢圓9x²+16y²=144化成標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到a²=16，b²=9，所以c==．再根據(jù)橢圓的定義得到|PF₁|+
|PF₂|=2a=8；以及△F₁PF₂中利用余弦定理，得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos60°=28．兩式聯(lián)解，可得|PF₁|•
|PF₂|=12，最后用面積正弦定理公式，可以求出△F₁PF₂的面積．
解答：將橢圓9x²+16y²=144化成標(biāo)準(zhǔn)形式：，
∴a²=16，b²=9
∴c==．
設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則由橢圓的定義可得：r₁+r₂=8①
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
根據(jù)余弦定理，得：r₁²+r₂²-2r₁r₂cos60°=28②，
由①²-②，得r₁r₂=12，
∴，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題在橢圓中給出一點(diǎn)，它到兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為特殊角，通過(guò)求焦點(diǎn)三角形的面積，考查了橢圓的基本概念和正、余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．