Question

8．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x+1}（x＜0）}\\{\sqrt{-{x}^{2}+2x}（0≤x≤2）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（1，$\frac{e}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意可得，f（x）=k（x+2）有兩個(gè)不等的實(shí)根，作出y=f（x）的圖象和直線y=k（x+2），通過圖象觀察它們有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和直線和圓相切的條件：d=r．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-kx-2k恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
即為f（x）=k（x+2）有兩個(gè)不等的實(shí)根，
作出y=f（x）的圖象和直線y=k（x+2），
當(dāng)x＜0時(shí)，直線和曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為（m，km+2k），
由e^m+1=km+2k=k，k≠0，解得k=1，m=-1，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（0，e），k=$\frac{e}{2}$，
由圖象可知，當(dāng)1＜k＜$\frac{e}{2}$時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線和半圓相切，d=r=1，圓心為（1，0），
由$\frac{|3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（負(fù)的舍去），
由圖象可得，0≤k＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$時(shí)，直線和半圓有兩個(gè)交點(diǎn)．
則有k的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（1，$\frac{e}{2}$）．
故答案為：[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）∪（1，$\frac{e}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，主要考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．