Question

曲線(xiàn)y=2x⁴上一點(diǎn)到直線(xiàn)y=-x-1的距離的最小值為

 

．

Answer 1

分析：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)和直線(xiàn)的距離；利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出曲線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行的切線(xiàn)；利用兩條平行線(xiàn)的距離公式求出距離的最小值．

解答：解：曲線(xiàn)y=2x⁴上一點(diǎn)到直線(xiàn)y=-x-1的距離的最小值轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)與直線(xiàn)平行的切線(xiàn)和直線(xiàn)的距離
y′=8x³
令8x³=-1得x=-

1

2

，
將x=-

1

2

代入y=2x⁴求出切點(diǎn)（-

1

2

，

1

8

），
曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為y-

1

8

=-(x+

1

2

)即x+y+

3

8

=0，
又y=-x-1即為x+y+1=0，
所以最小距離為

1- 3 8

2

=

5 2

16

，
故答案為

5 2

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率、兩平行線(xiàn)的距離的公式