Question

4．已知三棱錐P-ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，$BC=\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2，則此三棱錐的外接球的體積為（　　）

• A． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $4\sqrt{3}π$
• C． $\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$
• D． 8π

Answer 1

分析 設△ABC外接圓半徑為r，設三棱錐P-ABC球半徑為R，由正弦定理，求出r=1，再由勾股定理得R，由此能求出三棱錐的外接球的體積．

解答 解：設△ABC外接圓半徑為r，設三棱錐P-ABC球半徑為R，設△ABC外心為O
∵三棱錐P-ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=$\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2，
∴由正弦定理，得：2r=2，
解得r=1，即OA=1，
球心到△ABC的外接圓圓心的距離d=1
故球的半徑R=$\sqrt{2}$
故三棱錐P-ABC外接球的體積V=$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
故選：A．

點評 本題考查三棱錐的外接球體積的求法，是中檔題，確定球的半徑是關鍵．