Question

9．已知函數(shù)h（x）=xlnx，$φ（x）=\frac{a}{x^2}（a＞0）$．
（Ⅰ）求$g（x）=\int_a^x{φ（t）dt}$；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）=h′（x）-g（x）-1，試確定f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大最小值；
（Ⅲ）求證：對于任意的正整數(shù)n，均有${e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}}≥\frac{e^n}{n!}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定積分的定義求解即可．
（Ⅱ）對函數(shù)f（x）進行求導，得到單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間內(nèi)得到最大值、最小值．
（Ⅲ）取a=1，由（Ⅱ）知，$f（x）=lnx-\frac{x-1}{x}≥f（1）=0$，利用新函數(shù)的性質(zhì)得到加和式，從而得證．

解答 解：（Ⅰ）$g（x）=\int_a^x{φ（t）dt}=\int_a^x{\frac{a}{t^2}dt}=-a[\frac{1}{t}]|_a^x=-a（\frac{1}{x}-\frac{1}{a}）=\frac{x-a}{x}$； …（3分）
（Ⅱ）∵h'（x）=（xlnx）'=lnx+1（x＞0），
∴$f（x）=lnx+1-\frac{x-a}{x}-1=lnx-\frac{x-a}{x}（x＞0）$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{x-（x-a）}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}（x＞0）$，
∵a＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=lna，函數(shù)f（x）無最大值； …（7分）
（Ⅲ）證明：取a=1，由（Ⅱ）知，$f（x）=lnx-\frac{x-1}{x}≥f（1）=0$，
∴$lnx≥\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$，即 $\frac{1}{x}≥1-lnx=ln\frac{e}{x}$，亦即 ${e^{\frac{1}{x}}}≥\frac{e}{x}$，…（10分）
分別取 x=1，2，…，n得${e^{\frac{1}{1}}}≥\frac{e}{1}$，${e^{\frac{1}{2}}}≥\frac{e}{2}$，${e^{\frac{1}{3}}}≥\frac{e}{3}$，…，${e^{\frac{1}{n}}}≥\frac{e}{n}$，
將以上各式相乘，得：${e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}}≥\frac{e^n}{n!}$…（12分）

點評 本題主要考查了定積分的概念及利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、最值的問題，屬于難度較大的題型，在高考中常作壓軸題出現(xiàn)．