Question

17．已知關(guān)于x的不等式x²-bx-2a＜0的解集為（-1，3）．
（1）求不等式x²-x-b＞0的解集；
（2）設(shè)變量x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+b≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，求目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知不等式的解集得到對應(yīng)的一元二次方程的解，進(jìn)一步求出a，b，然后繼續(xù)解不等式以及線性規(guī)劃的問題．

解答 解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x²-bx-2a＜0的解集為（-1，3）．
所以x²-bx-2a=0的解為-1，3，所以b=2，a=$\frac{3}{2}$，
所以（1）不等式x²-x-b＞0為x²-x-2＞0，它的解集為（-∞，-1）∪（2，+∞）；
（2）設(shè)變量x，y滿足不等式為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{x-y+1≥0}\\{2x+3y≥6}\end{array}\right.$，
對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=6}\\{x=1}\end{array}\right.$得到（1，$\frac{4}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{x=2}\end{array}\right.$得到（2，3），由圖形得知，目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在（1，$\frac{4}{3}$）處得到最小值為2×1+$\frac{4}{3}$=$\frac{10}{3}$，在（2，3）出得到最大值為2×2+3=7，
所以目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的取值范圍為[$\frac{10}{3}$，7]．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解集與對應(yīng)的方程根的關(guān)系以及簡單的線性規(guī)劃問題；體現(xiàn)了待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合的思想．