Question

4．已知定義在R上的奇函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=log₂（x+a）．
（1）求a的值以及g（x）在[-2，-1]上的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3在R上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性得出a=1，g（x+2）=-g（x），轉(zhuǎn)化得出當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=log₂（x+1），當(dāng)-2≤x≤-1，則0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3），即可求出g（x）在[-2，-1]上的解析式
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將不等式轉(zhuǎn)化log₂（$\frac{{2}^{x}-t}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3，由此可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）∵g（x+2）=-g（x），
∴g（x+4）=g（x），周期為：4，
∵定義在R上的奇函數(shù)g（x），
∴g（0）=0，即a=1，
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí)，g（x）=log₂（x+1），
∵當(dāng)-2≤x≤-1，則0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3）
∴當(dāng)-2≤x≤-1，g（x）=-log₂（x+3）；
（2）∵x的不等式g（$\frac{t-{2}^{x}}{8+{2}^{x+3}}$）≥1-log₂3在R上恒成立，
∴l(xiāng)og₂（$\frac{{2}^{x}-t}{8+{2}^{x+3}}$-1）≥1-log₂3，
整理得：3t=-37•2^x-40＜-77，
∴t＜-$\frac{77}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查周期性，考查了計(jì)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．