Question

已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求證：

(1)a²+b²≥;

(2)+≥8;

(3)+ ≥;

(4) ≥.

Answer 1

證明見解析

解析:

由 a、b∈（0，+∞），

得≤ab≤≥4.

（當且僅當a=b=時取等號）

(1)∵a²+b²=(a+b)²-2ab=1-2ab≥1-2×=，

∴a²+b²≥.

(2)∵+≥≥8,∴+≥8.

(3)由(1)、(2)的結(jié)論，知

+ =a²+b²+4++

≥+4+8=,∴+ ≥.

 (4) =++ab+

=+++2≥2++2=.