Question

已知雙曲線C：=1（a＞0,b＞0）,B是右頂點，F(xiàn)是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足||、||、||成等比數(shù)列，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為P.

（1）求證：·=·.

（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍.

Answer 1

分析：根據(jù)條件寫出l的方程，求出點P的坐標(biāo)后，利用向量的坐標(biāo)運算證明.

（1）證明：由題意知,直線l的方程為y=(x-c).

由

解得P（,）.

∵||、||、||成等比數(shù)列.

∴x_a·c=a²,∴x_a=,∴A(,0).

∴=(0,),=(,),FP=(,).

∴·=,·=.

∴·=·.

（2）解：由

得b²x²-(x-c)²=a²b²,

即（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-(a⁴c²+a²b⁴)=0.

∵l與雙曲線左、右兩支分別相交于點D、E，設(shè)D（x₁,y₁）,E(x₂,y₂),

∴x₁·x₂=＜0.∴b⁴＞a⁴,即b²＞a²,∴c²-a²＞a².

∴e²＞2,即e＞.

點撥：解決離心率范圍問題，就要構(gòu)造出關(guān)于a、b、c的不等式進(jìn)而求出e的范圍，同時應(yīng)注意e＞1這一條件.