Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知C=

π

3

．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求cosB；
（Ⅱ）若c=2，

sinC+sin(B-A)

2

=sin2A，求a+b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosC，a，b的值，利用余弦定理列出關(guān)系式求出c的值，再利用余弦定理表示出cosB，將三邊長代入計(jì)算即可求出值；
（Ⅱ）已知等式左邊利用誘導(dǎo)公式及和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，整理得到sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosC，c，b=2a代入求出a的值，進(jìn)而求出b的值，即可確定出a+b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵C=

π

3

，a=2，b=3，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-6=7，即c=

7

，
則cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4+7-9

4 7

=

7

14

；
（Ⅱ）

sinC+sin(B-A)

2

=

sin(A+B)+sin(B-A)

2

=sinBcosA=sin2A=2sinAcosA，
∵cosA≠0，∴sinB=2sinA，
利用正弦定理化簡得：b=2a，
∵C=

π

3

，c=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即2=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=

6

3

，b=

2 6

3

，
則a+b=

6

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．