Question

15．設(shè)關(guān)于x的不等式|2x-1|＜t|x|．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，不等式|2x-1|＜t|x|+a對(duì)?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若原不等式的解中整數(shù)解恰有2個(gè)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a＞|2x-1|-2|x|≥|2x-1-2x|=1，即a＞1．
（2）由題意可得t＞0，不等式（4-t²）x²-4x+1＜0①的整數(shù)解只有2個(gè)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得0＜t＜2，解不等式①，求得$\frac{1}{2+t}$＜x＜$\frac{1}{2-t}$．結(jié)合題意可得不等式一定有整數(shù)解1和2，可得 2＜$\frac{1}{2-t}$≤3，由此求得t的范圍．

解答 解：（1）由于當(dāng)t=2時(shí)，不等式|2x-1|＜2|x|+a對(duì)?x∈R恒成立，
故a＞|2x-1|-2|x|≥|2x-1-2x|=1，即a＞1．
（2）關(guān)于x的不等式|2x-1|＜t|x|的整數(shù)解只有2個(gè)，∴t＞0．
即 （2x-1）²＜t²•x² 的整數(shù)解只有2個(gè)，即 （4-t²）x²-4x+1＜0①的整數(shù)解只有2個(gè)．
∴4-t²＞0，△=4t²＞0，求得0＜t＜2．
解不等式①，求得$\frac{1}{2+t}$＜x＜$\frac{1}{2-t}$．
再根據(jù)得$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2+t}$＜$\frac{1}{2}$，結(jié)合題意可得不等式一定有整數(shù)解1和2，
∴2＜$\frac{1}{2-t}$≤3，
求得$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．