Question

9．某初中對(duì)初二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，已知初二一班共有學(xué)生30人，測(cè)試立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)用莖葉圖表示如下（單位：cm）：
男生成績(jī)?cè)?75cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績(jī)?cè)?75cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”；
女生成績(jī)?cè)?65cm以上（包括165cm）定義為“合格”，成績(jī)?cè)?65cm以下（不包括165cm）定義為“不合格”．
（1）求女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)；
（2）若在男生中用分層抽樣的方法抽取6個(gè)人，求抽取成績(jī)“合格”的學(xué)生人數(shù)；
（3）若從全班成績(jī)“合格”的學(xué)生中選取2個(gè)人參加復(fù)試，用X表示其中男生的人數(shù)，試寫(xiě)出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖能求出女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)．
（Ⅱ）男生中成績(jī)“合格”有8人，“不合格”有4人，由此用分層抽樣的方法，能求出成績(jī)“合格”的學(xué)生應(yīng)抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖得女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)為：$\frac{165+168}{2}=166.5$cm．…（3分）
（Ⅱ）男生中成績(jī)“合格”有8人，“不合格”有4人，
用分層抽樣的方法，其中成績(jī)“合格”的學(xué)生應(yīng)抽取6×$\frac{8}{12}$=4人．…（6分）
（Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{0}{C}_{10}^{2}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{5}{17}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{80}{153}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{10}^{0}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{28}{153}$，
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

…（10分）
∴EX=$0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}+2×\frac{28}{153}$=$\frac{8}{9}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．