Question

16．如圖，一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為l的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁容器中盛有液體（不計(jì)容器厚度）．若液面恰好分別過(guò)棱AC，BC，B₁C₁，A₁C_l的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G．
（I）求證：平面DEFG∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，求液面的高．

Answer 1

分析 （I）證明DE∥平面ABB₁A₁，DG∥平面ABB₁A₁，即可證明：平面DEFG∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積，由于是三棱柱形容器，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，不必求三角形的面積．

解答 （I）證明：∵棱AC，BC的中點(diǎn)D，E，
∴DE∥AB，
∵DE?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴DE∥平面ABB₁A₁，
同理DG∥平面ABB₁A₁，
∵DE∩DG=D，
∴平面DEFG∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：當(dāng)側(cè)面AA₁B₁B水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形
設(shè)△ABC的面積為S，則S_梯形ABFE=$\frac{3}{4}$S，
V_水=$\frac{3}{4}$S•AA₁=$\frac{3}{4}$Sl．
當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為h，則有V_水=Sh，
∴$\frac{3}{4}$Sl=Sh，∴h=$\frac{3}{4}$l．
故當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為$\frac{3}{4}$l．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查線面、平面與平面平行的判定，考查用用體積公式來(lái)求高，解答本題時(shí)要充分考慮幾何體的形狀，根據(jù)其形狀選擇求解的方案．