Question

已知y=cos²x+sinxcosx+1,x∈R.

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖象可由y=sinx,x∈R的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

解析：(1)y=×(1+cos2x)+sin2x+1

=cos2x+sin2x+

=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+.

y取最大值必須且只需2x+=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z,

∴當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合是{x|x=kx+,k∈Z}.

(2)將函數(shù)y=sinx的圖象依次進(jìn)行如下變換：

①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位得y=sin(x+)的圖象；

②再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得y=sin(2x+)的圖象；

③把所得的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象；

④把所得的圖象沿y軸向上平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.

綜上，得到y(tǒng)=cos²x+sinxcosx+1的圖象.

點(diǎn)評(píng)：在研究函數(shù)的性質(zhì)和進(jìn)行圖象變換時(shí)，應(yīng)首先把函數(shù)解析式化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式.