Question

宇宙深處有一顆美麗的行星，這個行星是一個半徑為r（r>0）的球。人們在行星表面建立了與地球表面同樣的經緯度系統(tǒng)。已知行星表面上的A點落在北緯60°，東經30°；B點落在東經30°的赤道上；C點落在北緯60°，東經90°。在赤道上有點P滿足PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離。

（1）求AC兩點間的球面距離；

（2）求P點的經度；

（3）求AP兩點間的球面距離。

Answer 1

解：設球心為O，北緯60°圈所對應的圓心為O’，

（1）那么OO’=。O’A=O’C=。又因為∠AO’C=60°。

所以AC=。那么∠AOC=（）

兩點間的球面距離為（）

（2）PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離，所以PB=AB。

可知∠POB=∠AOB=60°，又P點在赤道上。所以P點的經度為東經90°或西經30°。

（3）顯然P點的兩種可能對應的AP間的球面距離相等。不妨P所在的經度為東經90°。

由條件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延長BA與OO’交于D點，那么。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共線且。

可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。