Question

對于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個(gè)函數(shù)：

①；   ②f（x）=x³；    ③f（x）=log₂x+1

則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是　　．

Answer 1

解答：

解：①對于函數(shù)，若存在“等值區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，故有=a，=b，即（a，b），（b，a）點(diǎn)均在函數(shù)圖象上，且兩點(diǎn)關(guān)于y=x對稱，兩點(diǎn)只能同時(shí)是函數(shù)，與函數(shù)圖象的唯一交點(diǎn)．即只能是a=b，故①不存在“等值區(qū)間”．

②對于函數(shù)f（x）=x³存在“等值區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³∈[0，1]．

③對于 f（x）=log₂x+1，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在區(qū)間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數(shù)存在“等值區(qū)間”[1，2]．

存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個(gè)數(shù)是2個(gè)

故答案為：2