Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=3a_n+1，且a₁=$\frac{1}{2}$
（1）設(shè)a_n+1+λ=3（a_n+λ），則{a_n+λ}成等比數(shù)列，求λ；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（3）一般地，若a_n+1=sa_n+t（s≠1，t≠0），且a_n+1+λ=s（a_n+λ），使{a_n+λ}成等比數(shù)列，求λ（用s，t表示）

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)a_n+1=3a_n+1變形可知a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知{a_n+$\frac{1}{2}$}是公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+$\frac{1}{2}$}是以1為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）比較a_n+1=sa_n+t（s≠1，t≠0）與a_n+1+λ=s（a_n+λ）可知sλ-λ=t，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a_n+1=3a_n+1，
∴a_n+1+$\frac{1}{2}$=3（a_n+$\frac{1}{2}$），
∴λ=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知{a_n+$\frac{1}{2}$}是公比為3的等比數(shù)列，
又∵a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，
∴數(shù)列{a_n+$\frac{1}{2}$}是以1為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-$\frac{1}{2}$+3^n-1；
（3）依題意，sλ-λ=t，
∴λ=$\frac{t}{s-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．