Question

已知A（x₁，y₁），B（1，y），C（x₂，y₂）是橢圓上的三點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，且|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，則AC的垂直平分線是否過定點？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：線段AC的垂直平分線過定點．利用焦半徑公式及|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可得ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化為x₁+x₂=2．設(shè)線段AC的中點坐標(biāo)為（1，m），①若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．②當(dāng)直線AC的斜率存在為k時，利用“點差法”可得，即．可知k≠0．利用點斜式可得線段AC的垂直平分線方程為，化為，即，把代入即可證明．
解答：解：線段AC的垂直平分線過定點．
下面給出證明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，
∴ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化為x₁+x₂=2．
設(shè)線段AC的中點坐標(biāo)為（1，m），若直線AC的斜率不存在，則不符合題意．
當(dāng)直線AC的斜率存在為k時，由，，相減可得，
∴，∴．可知k≠0．
∵線段AC的垂直平分線方程為，化為，即，
∴，即，當(dāng)時，y=0，
因此線段AC的垂直平分線過定點．
點評：熟練掌握橢圓的焦半徑公式、等差數(shù)列的定義、分類討論的思想方法、線段的垂直平分線方程、過定點問題等是解題的關(guān)鍵．