Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（ωx-$\frac{π}{4}$）是最小正周期為π的偶函數(shù)，求ω和a的值．

Answer 1

分析 由題意可得f（-x）=f（x），化簡(jiǎn)可得$\sqrt{2}$sinωx=$\sqrt{2}$a•sinωx，a=1．由此求得f（x）=$\sqrt{2}$•cosωx，再根據(jù)它的周期為π，求得ω的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（ωx-$\frac{π}{4}$）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
sin（-ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（-ωx-$\frac{π}{4}$）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（ωx-$\frac{π}{4}$），
∴-sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+asinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+acosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-asinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+acosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化簡(jiǎn)可得 $\sqrt{2}$sinωx=$\sqrt{2}$a•sinωx，∴a=1，
f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-sin（ωx-$\frac{π}{4}$）=（sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）-（sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）
=$\sqrt{2}$•cosωx．
∴函數(shù)的周期為T(mén)=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
綜上可得，ω=2，a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角汗水的奇偶性和周期性，兩角和差的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．