Question

18．已知圓C：x²+y²-4x-2y-4=0及點P（4，-3），直線mx-y-2m+1=0與圓C交于兩點A，B．
（1）求過點P且被圓C截得的弦長為2$\sqrt{5}$的直線方程；
（2）試探究$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得圓心到直線的距離d=2．分直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，分別求出滿足條件的直線方程，綜合討論結(jié)果，可得答案；
（2）直線mx-y-2m+1=0恒過圓C：x²+y²-4x-2y-4=0的圓心（2，1）點，則|$\overrightarrow{PO}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$互為相反相量，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=3，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）=11．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-4x-2y-4=0的圓心坐標為（2，1），半徑為3，
∵直線被圓C截得的弦長為2$\sqrt{5}$，
則圓心到直線的距離d=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=2，
若直線斜率不存在，則直線方程為x=4，滿足條件；
若直線斜率存在，設(shè)直線斜率為k，則直線方程為；y+3=k（x-4），即kx-y-4k-3=0，
則d=$\frac{|2k-1-4k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
此時直線方程為：-$\frac{3}{4}$x-y=0，即3x+4y=0，
綜上所述，滿足條件的直線為：x=4和3x+4y=0；
（2）直線mx-y-2m+1=0恒過圓C：x²+y²-4x-2y-4=0的圓心（2，1）點，
則|$\overrightarrow{PO}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-3-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$互為相反相量，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=3，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{PO}$²+$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{PO}$²-$\overrightarrow{OA}$²=20-9=11，
即$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$是定值11．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積運算，是向量與平面幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．