Question

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷△ABC的形狀.

Answer 1

B=，△ABC是等邊三角形

解析:

方法一  ∵2cos2B-8cosB+5=0,

∴2(2cos²B-1)-8cosB+5=0.

∴4cos²B-8cosB+3=0,

即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.

解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=.

∵0＜B＜,∴B=.

∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c=2b.

∴cosB===，

化簡(jiǎn)得a²+c²-2ac=0,解得a=c.

又∵B=，∴△ABC是等邊三角形.

方法二  ∵2cos2B-8cosB+5=0，

∴2（2cos²B-1）-8cosB+5=0.

∴4cos²B-8cosB+3=0，

即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.

解得cosB=或cosB=（舍去）.

∴cosB=,∵0＜B＜,∴B=,

∵a,b,c成等差數(shù)列，∴a+c=2b.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.

∴sinA+sin=，

∴sinA+sin-cos=.

化簡(jiǎn)得sinA+cosA=,∴sin =1.

∴A+=,∴A=,

∴C=,∴△ABC為等邊三角形.