Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“密切函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“密切區(qū)間”，設(shè)函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“密切函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [e-1，2]
• B． [e-2，2]
• C． [$\frac{1}{e}$-e，1+e]
• D． [1-e，1+e]

Answer 1

分析 由題意知|lnx+$\frac{1}{x}$-m|≤1，變形得m-1≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+1，令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$ （$\frac{1}{e}≤x≤e$），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）的值在[m-1，m+1]，對(duì)函數(shù)h（x）求導(dǎo)即可得h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最值情況，對(duì)比后即可答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“密切函數(shù)”，
∴對(duì)任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，
即|lnx+$\frac{1}{x}$-m|≤1，從而m-1≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+1，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$ （$\frac{1}{e}≤x≤e$），則h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
從而當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＜1時(shí)，h′（x）＜0；
當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取極小值，也就是最小值，
故h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為1，最大值為e-1，
所以m-1≤1且m+1≥e-1，
從而e-2≤m≤2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義函數(shù)，其本質(zhì)仍是通過(guò)變形，求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．